线性代数就该这样学

实话说,本人学习断断续续学习了线性代数快2年了,期间看了不少于4本相关的书,包括:

  • 线性代数应该这样学(Linear Algebra Done Right)
  • Introduction to Linear Algebra
  • Linear Algebra and Its Applications(线性代数及其应用)
  • 线性代数的几何意义
  • 程序员的数学:线性代数
  • 实用线性代数(图解版)

很多人会说《线性代数及其应用》最适合自学,然而这本书我看了不到50页就不想看,讲的实在太啰嗦了。还不如《Introduction to Linear Algebra》说的通熟易懂些,同时也读了《程序员的数学:线性代数》这本书,不得不说这书比前2本来说更加天马行空。而对我启发最大的2本书,反而是《线性代数的几何意义》和《实用线性代数》。
既然是学习一门学科,我们就必须从其基础学习,从它最核心和简单的东西学起,一下子让你去用scipy计算什么频谱,或用PCA计算其特征向量,估计你也是一脸懵逼和身在云中不知处。
下面,我们来介绍些比较核心且简单的基础的东西,在这里我们需要思考如下几个问题:

  1. 什么是线性代数
  2. 什么是线性
  3. 什么是线性函数
  4. 线性代数的核心是什么
  5. 线性代数的核心内容是什么
  6. 什么是线性变换或线性映射
  7. 什么是线性空间或向量空间
  8. 什么是向量
  9. 向量与线性空间有什么关系
  10. 向量内积与叉积的几何意义是什么
  11. 什么是行列式,其几何意义是什么
  12. 常见的变化矩阵有哪些
  13. 什么是特征向量
  14. 雅克比矩阵有什么用
  15. 什么是线性方程组,它有解吗
  16. 什么是二次型
  17. 如何从实际问题得到矩阵

如果我们能把这些问题都弄清楚了,那么基本上我们就把1本300多页的线性代数给掌握了。
下面我们对其中的一些问题进行说明。

什么是线性代数

线性代数是研究线性问题的代数理论。

什么是线性和线性函数

线性代数中的线性主要意思是线性空间中的线性变换,换作中学的话说就是如果有一元线性函数y=kx。而在线性代数中,定义了2个最基本的规则,那就是:

  • 可加性,f(x+y)=f(x)+f(y)
  • 比例性,f(kx) = kf(x)

然后我们将其推广到多元线性方程组的情况,于是抽象后可以写成y=Kx。其中K是系数矩阵,而y和x都是向量。

线性代数的核心与核心内容是什么

线性代数的核心就是线性方程组,而核心内容是线性空间中的线性变换。

常见的变化矩阵有哪些

在线性代数中,常见的变换有:

  • 旋转
  • 切变
  • 拉伸
  • 投影

而这些变换对应不同的线性变换矩阵。
另外,在线性代数中常用的矩阵主要有:

  • 转置矩阵
  • 正交矩阵
  • 分块矩阵
  • 三角矩阵
  • 对角矩阵,通过对角化可以简化计算。根据行列式是向量的面积,将其中的基底投影为标准正交基后面积仍是不变的。
  • 平移矩阵
  • 逆矩阵
  • 相似矩阵

雅克比矩阵有什么用

雅克比矩阵主要是将非线性问题转换为线性问题,主要是微积分与线性代数的纽带,实现以直代曲的目的。比如,计算曲线的二重积分的曲面面积。

什么是线性方程组,它有解吗

线性方程组是多个线性方程的组合,它有没有解看具体情况而定,不一定有解,可能有0个解,1个解或多个解。可以用高斯消元法来求解。

什么是二次型

二次型是变量的二次乘积项的和,可以看作是线性的升级版来处理工程上的问题。包括二次函数、圆锥曲线等问题

如何从实际问题得到矩阵

对于实际问题得到矩阵,实际上是线性变换的矩阵定理的应用。可以通过应用标准正交基与当前基底的切换,从而写出对应的向量,合并起来就是变换矩阵。

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